Содержание
Можно ли разрезать правильный треугольник на «16» равных частей?
Можно ли разрезать верный треугольник на «16» равных частей?
Можно ли разрезать правильный треугольник на «10» равных частей?
Можно ли разрезать верный треугольник на «10» равных частей?
среда, 12 сентября 2018 г.
Можно ли разрезать правильный треугольник на «25» равных частей?
Можно ли разрезать верный треугольник на «25» равных частей?
Можно ли разрезать правильный треугольник на «8» равных частей?
Можно ли разрезать верный треугольник на «8» равных частей?
Можно ли разрезать правильный треугольник на 64 равных частей?
Можно ли разрезать верный треугольник на 64 равные части?
вторник, 11 сентября 2018 г.
Можно ли разрезать правильный треугольник на «9» равных частей?
Можно ли разрезать верный треугольник на «9» равных частей?
Обобщаем на произвольные треугольники
Всё произнесенное выше просто обобщить на случай случайного треугольника, проводя три семейства параллельных прямых (в каждом семействе прямые параллельны одной стороне и делят каждую из 2-ух других сторон на n равных частей). Сейчас нетрудно осознать, как разбить хоть какой треугольник на n ему схожих, где n 5. Разбиение на 6 треугольников, схожих начальному, выходит, если сделать чертёж, аналогичный рисунку 2, а, и стереть излишние косильной лески (рис. 3, а). Разбиение на 8 подобных (рис. 3, б) получается из рисунка 2, б, и т. д., для любых чётных n, больших 5. Если же n — нечётное, то после стирания надо сделать ещё один шаг: разбить «верхний» треугольник средними линиями на четыре равных. На рисунке 3, в показано такое разбиение на 11 треугольников.
А вот на 2, 3 или 5 треугольников, подобных исходному, можно разбить не любой треугольник.
Разбиения равностороннего треугольника на равносторонние: от 4 до бесконечности
Очень легко разбить любой равносторонний треугольник на 4 равных равносторонних треугольника, соединив отрезками середины его сторон, то есть проведя средние косильной лески (рис. 1, а).
Продолжая разбивать этим же способом получающиеся части, мы сможем разделить исходный треугольник на 7, 10, 13. равносторонних треугольников, и вообще, на любое их число вида 3k 1 (где k — натуральное). Отметим, что среди треугольников разбиения обязательно будут равные.
Аналогично строится одна из самоподобных фигур — треугольник Серпинского (такие фигуры называются фракталами). В равностороннем треугольнике проводятся средние косильной лески и «вынимается» средний из четырёх получившихся треугольников. Этот процесс повторяется в каждом из трёх остальных треугольников и т. д., до бесконечности. Итоговая фигура (рис. 1, б) имеет ту же форму, что и её части.
А если делить стороны равностороннего треугольника не на 2 равные части, а на 3, 4 и т. д.? Тогда можно разбить его на 9, 16. равных равносторонних треугольников (рис. 2, а, б). Ведь если поделить одну из сторон на n равных частей, то сторона маленького треугольника будет в n раз меньше стороны исходного, а площадь тогда — в n 2 раз меньше. Это и значит, что в разбиении будет n 2 треугольников. Кстати, их можно было подсчитать и по «слоям»: в верхнем слое — один треугольник, в следующем — 3, в последующем — 5. в самом нижнем слое будет 2n − 1 треугольников. Попутно мы доказали геометрически, что 1 3 (2n − 1) = n 2.
Разбиения на различные подобные треугольники
А какой треугольник можно разбить на треугольники, ему подобные, среди которых не будет равных? Оказывается, любой неравносторонний. Перед тем как объяснить решение, напомним, что в подобных треугольниках равны отношения соответствующих сторон. Построить искомое разбиение поможет обобщённая теорема Фалеса: параллельные прямые отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки.
Рассмотрим треугольник АВС, в котором BC / AC = k 1. Приложим к треугольнику ABC треугольники 1, 2, 3, 4 и 5 Получим треугольник, разбитый на 6 неравных подобных треугольников.
Треугольники ABC, 1, 2, 3, 4 все различны, так как каждый следующий в k раз больше предыдущего.
Но треугольники 4 и 5 могут оказаться равными, если k k 3 = k 4. Тогда достроим треугольники 6 и 7, а треугольник 5 заменим треугольником 8. Треугольники 7 и 8 не равны, так как k 6 ≠ k k 3 k 5. Ведь если k k 3 = k 4. то k 6 = k 2 (k k 3 ) = k 3 k 5 3 k 5.
Конверт треугольник как сделать. Военный конверт.
Вместо заключения
Какие треугольники разрезаются на 5 подобных, до конца неизвестно, Washing machine. статью Б. Френкина «О разрезании треугольника на подобные ему» («Квант» за 2008 г.). Развитие темы для многоугольников Washing machine. в книге М. Гарднера «Математические досуги» (Мир, 2000; гл. 24: «Делящиеся» фигуры на плоскости).
Прямоугольные треугольники
Выясним, какой треугольник можно разбить на два ему подобных. Пусть отрезок CD делит треугольник АВС на два ему подобных: ACD и BCD. Если ∠ САD = α, ∠ AСD = β, то ∠ BDС = α β (рис. 4, а). Тогда в треугольнике ACD должен быть угол α β, и это может быть только угол ADС. Значит, ∠ АDС = ∠ ВDС = α β = 90°. Тогда исходный треугольник тоже прямоугольный, и ∠ AСВ = 90°.
Так как α β = 90°, то ∠ DCB = α, ∠ АВС = β, и треугольники ACD и BCD подобны треугольнику АВС (рис. 4, б).
Проведя в любом из полученных треугольников высоту из вершины D, мы разобьём треугольник АВС на три треугольника, ему подобных. Продолжая этот процесс, можно разбить прямоугольный треугольник на любое количество ему подобных. А можно ли сделать эти треугольники равными? Иногда можно.
Так, если прямоугольный треугольник АВС — ещё и равнобедренный, высота CD разбивает его на 2 равных прямоугольных равнобедренных треугольника, подобных ABC, а их высоты, проведённые из вершины D, дают уже 4. Продолжая, можно разбить прямоугольный равнобедренный треугольник на 2 n равных треугольников, подобных ему (n — любое натуральное).
Но этот случай — не единственный. Пусть длины катетов прямоугольного треугольника равны целым числам m и k, тогда его можно разбить на m 2 k 2 равных треугольников, подобных ему. Для этого проведём высоту из вершины прямого угла и разобьём один получившийся треугольник на m 2. а другой — на k 2 равных треугольников, как на рисунке 2. Полученные маленькие прямоугольные треугольники двух видов равны (по гипотенузе и острому углу) и подобны исходному. На рисунке 5 — пример разбиения треугольника с катетами 5 и 7 на 74 = 5 2 7 2 равных треугольника.
Как это решить?
Разбиение на подобные треугольники
Как разбить треугольник на подобные ему треугольники? 1 Сколько треугольников можно получить при таких разбиениях?
Задачи для самостоятельного решения
Можно ли какой-нибудь треугольник разбить на три равных треугольника, подобных исходному?
Можно ли разбить на пять треугольников, подобных исходному, какой-нибудь: а) прямоугольный треугольник; б) (С. Маркелов) непрямоугольный треугольник?
(Т. Емельянова) Разрежьте неравносторонний треугольник на четыре подобных треугольника, среди которых не все между собой равны.
(А. Галочкин) Бумажный треугольник с углами 20°, 20°, 140° разрезается по одной из своих биссектрис на два треугольника, один из которых также разрезается по биссектрисе, и так далее. Может ли после нескольких разрезов получиться треугольник, подобный исходному?
(Д. Шноль) Каждый из двух подобных треугольников разрезали на два треугольника так, что одна из получившихся частей первого подобна одной из частей второго. Обязательно ли подобны оставшиеся части?
(М. Панов) Можно ли равносторонний треугольник разбить на 5 равнобедренных, но попарно не подобных?
1 Два треугольника подобны, если углы одного соответственно равны углам другого (достаточно соответствующего равенства двух углов).
Разрезать треугольник на 4 треугольника
Докажем, что из свойства 2 следует свойство 3. Пусть выпуклый многоугольник F разрезан на параллелограммы. Нужно доказать, что для любой стороны многоугольника F найдется другая сторона, параллельная и равная ей. От каждой стороны многоугольника F отходит цепочка параллелограммов, т. е. эта сторона как бы перемещается по ним параллельно, причем она может разбиваться на несколько частей (рис. 25.20). Так как у выпуклого многоугольника может быть еще только одна сторона, параллельная данной, то все разветвления цепочки упираются в одну и ту же сторону, причем ее длина не меньше длины стороны, из которой цепочка выходит. Мы можем выпустить цепочку параллелограммов как из первой стороны во вторую, так и из второй в первую, поэтому длины этих сторон равны.
Остается доказать, что из свойства 3 следует свойство 2. Способ разрезания многоугольника с равными и параллельными противоположными сторонами указан на рис. 25.21. После каждой такой операции получаем многоугольник с меньшим числом сторон, по-прежнему обладающий свойством 3, и проделываем с ним то же самое, пока не придем к параллелограмму.
25.23. Воспользуемся результатом предыдущей задачи. Если выпуклый многоугольник M разрезан на выпуклые центрально симметричные многоугольники, то их можно разрезать на параллелограммы. Поэтому M можно разрезать на параллелограммы, т. е. M имеет центр симметрии.
25.24. Докажем индукцией по n, что любой 2n-угольник, стороны которого имеют одну и ту же длину и противоположные стороны параллельны, можно разрезать на ромбы. Для n = 2 это очевидно, а из рис. 25.21 ясно, как делается индукционный шаг.
25.25. Выделим в правильном восьмиугольнике две взаимно перпендикулярные пары противоположных сторон и рассмотрим, как и в задаче 25.1, цепочки параллелограммов, соединяющие противоположные стороны. На пересечениях этих цепочек стоят прямоугольники. Рассмотрев две другие пары противоположных сторон, получим еще хотя бы один прямоугольник. Параллелограммы каждой цепочки можно дополнительно разрезать так, чтобы цепочка распалась на несколько «дорожек», причем в каждой дорожке соседние параллелограммы примыкали бы друг к другу целыми сторонами, а не частями сторон. Объединение прямоугольников нового разбиения совпадает с объединением прямоугольников исходного разбиения, поэтому доказательство достаточно провести для нового разбиения. Каждая дорожка имеет постоянную ширину; значит, длина одной стороны каждого прямоугольника, входящего в дорожку, равна ширине дорожки, а сумма длин всех других сторон равна сумме всех ширин дорожек, соответствующих второй паре сторон. Следовательно, площадь всех прямоугольников, входящих в одну дорожку, равна произведению ширины дорожки на длину стороны многоугольника, т. е. численно равна ширине дорожки. Поэтому площадь всех прямоугольников, соответствующих двум перпендикулярным парам противоположных сторон, равна 1, а площадь вообще всех прямоугольников равна 2.
25.26. Обозначим точки пересечения одной из данных прямых с остальными через A, B и C. Для определенности будем считать, что точка B лежит между A и C. Пусть D. точка пересечения прямых, проходящих через A и C. Любая прямая, проходящая через точку B и не проходящая через точку D, разрезает треугольник ACD на треугольник и четырехугольник. 25.27. а) Пусть n прямых разбивают плоскость на an частей. Проведем еще одну прямую. При этом число частей увеличится на n 1, так как новая прямая имеет n точек пересечения с уже проведенными прямыми. Поэтому an 1 = an n 1. Так как a1 = 2, то an = 2 2 3 ј n = (n 2 n 2)/2. б) Заключив все точки пересечения данных прямых в окружность, легко проверить, что количество неограниченных фигур равно 2n. Поэтому количество ограниченных фигур равно (n 2 n 2)/2 – 2n = (n 2 – 3n 2)/2.
25.29. Назовем прямую граничной для данной фигуры, если она является продолжением отрезка или луча, ограничивающего эту фигуру. Достаточно доказать, что две рассматриваемые фигуры не могут иметь более четырех общих граничных прямых. Если две фигуры имеют четыре общие граничные прямые, то одна из фигур лежит в области 1, а другая лежит в области 2 (рис. 25.24). Пятая граничная прямая фигуры, лежащей в области 1, должна пересекать две соседние стороны четырехугольника 1, но тогда она не может быть граничной прямой для фигуры, лежащей в области 2.
25.30. Рассмотрим все точки пересечения данных прямых. Докажем, что эти точки могут лежать по одну сторону не более чем от двух данных прямых. Предположим, что вес точки пересечения лежат по одну сторону от трех данных прямых. Эти прямые образуют треугольник ABC. Четвертая прямая не может пересекать только стороны этого треугольника, т. е. она пересекает хотя бы одно продолжение стороны. Пусть для определенности она пересекает продолжение стороны AB за точку B в некоторой точке M. Тогда точки A и M лежат по разные стороны от прямой BC. Получено противоречие. Поэтому имеются по крайней мере n – 2 прямые, по обе стороны от которых лежат точки пересечения. Если мы выберем в полуплоскости, заданной прямой l, ближайшую к l точку пересечения, то эта точка будет вершиной треугольника, прилегающего к прямой l. Таким образом, имеется не менее n – 2 прямых, к которым прилегает по крайней мере по два треугольника, и две прямые, к каждой из которых прилегает хотя бы один треугольник. Так как каждый треугольник прилегает ровно к трем прямым, то треугольников не менее (2(n – 2) 2)/3.
25.31. Если P. точка пересечения данных прямых, то из P выходит 2 l (P) отрезков или лучей. Кроме того, каждый из x отрезков имеет две граничные точки, а каждый из 2n лучей имеет одну граничную точку. Поэтому
| 2x 2n = 2 | е | l (P) |
, т. е.
| x = – n | е | l (P) |
. 25.32. Доказательство проведем индукцией по n. Для двух прямых утверждение очевидно. Предположим, что утверждение верно для n – 1 прямых, и рассмотрим систему, состоящую из n прямых. Пусть f. количество частей, на которые данные n прямых разбивают плоскость;
| g = 1 n | е | ( l (P) – 1) |
. Выбросим из данной системы одну прямую и для полученной системы прямых определим аналогичным образом числа f ў и g ў. Если на выброшенной прямой лежит k точек пересечения прямых, то f ў = f – k – 1 и
| g ў = 1 (n – 1) | е | ( l ў (P) – 1) |
. Легко проверить, что
| е | ( l (P) – 1) = – k | е | ( l ў (P) – 1) |
. По предположению индукции f ў = g ў. Поэтому f = f ў k 1 = g ў k 1 = g. Ясно также, что количество неограниченных частей равно 2n. 25.33. Пусть ak ў. количество красных k-угольников, a ў. количество ограниченных красных областей, количество отрезков, на которые данные прямые разбиты точками их пересечения, равно
| е | l (P) – n |
(Washing machine. задачу 25.31). Каждый отрезок является стороной не более чем одного красного многоугольника, поэтому
| 3a ў Ј | е k і 3 | kak ў Ј | е | l (P) – n |
, причем одно неравенство достигается тогда и только тогда, когда нет красных k-угольников, где k 3, а другое неравенство достигается тогда и только тогда, когда любой отрезок является стороной красного k-угольника, т. е. любая неограниченная красная область является углом. Количество ограниченных областей равно
| 1 – n | е | ( l (P) – 1) = c |
(Washing machine. задачу 25.32). поэтому количество b ў ограниченных синих областей равно
| c – a ў і 1 – n | е | ( l (P) – 1) – ( | е | l (P) – n)/3 = 1 – (2n/3) | е | (2 l (P)/3 – 1) |
. Цвета 2n неограниченных областей чередуются, поэтому
| b = b ў n і 1 (n/3) | е | (2 l (P)/3 – 1) |
и
| a = a ў n Ј (2n | е | l (P))/3 |
, а значит,
| 2b – a і 2 | е | ( l (P) – 2) |
.
25.39. Ясно, что после n разрезаний получится n 1 кусок. Так как после каждого разрезания общее число вершин полученных фигур увеличивается на 2, 3 или 4, то после n разрезаний общее число вершин не превосходит 4n 4. Если после n разрезаний получилось 100 20-угольников, то кроме 20-угольников есть еще n 1 – 100 кусков, так как общее число кусков равно n 1. Поскольку у каждого куска не менее трех вершин, общее число вершин не меньше 100 20 (n – 99) 3 = 1703 3n. Следовательно, 1703 3n Ј 4n 4, т. е. n і 1699. Остается доказать, что за 1699 разрезаний можно разрезать квадрат требуемым образом. Чтобы разрезать квадрат на 100 прямоугольников, достаточно 99 разрезов, а чтобы отрезать от каждого из этих прямоугольников по 16 треугольников и превратить их в 20-угольники, достаточно 16000 разрезов.
25.40. Введем систему координат с началом в одной из вершин исходного прямоугольника и осями, направленными по его сторонам. Разрежем координатную плоскость прямыми x = n/2 и y = m/2, где m и n. целые числа, и раскрасим полученные части в шахматном порядке. Если стороны прямоугольника параллельны осям координат, а длина одной из его сторон равна 1, то суммы площадей его белых и черных частей равны. В самом деле, при симметрии относительно средней косильной лески прямоугольника белые части переходят в черные и наоборот. Для прямоугольника с целочисленной стороной справедливо аналогичное утверждение, потому что его можно разрезать на прямоугольники со стороной 1. Остается доказать, что если суммы площадей белых и черных частей равны, то одна из сторон прямоугольника целочисленная. Предположим, что обе стороны исходного прямоугольника не целые. Прямые x = m и y = n отрезают от него прямоугольники, одна из сторон каждого из которых равна 1, и прямоугольник, обе стороны которого меньше 1. Легко проверить, что в последнем прямоугольнике суммы площадей белых и черных частей не могут быть равны.
25.45. Выберем среди всех отрезков, покрывающих левый конец исходного отрезка, тот, у которого правый конец самый правый, и обозначим этот отрезок I1. После того как выбран отрезок Ik, выбираем среди всех отрезков, покрывающих его правый конец, тот, у которого правый конец самый правый. Таким образом выберем несколько отрезков, полностью покрывающих исходный отрезок. Остается доказать, что сумма их длин не превосходит 2. Отрезок Ik 2 не имеет общих точек с Ik, так как иначе вместо Ik 1 мы должны были бы выбрать Ik 2. Поэтому каждая точка исходного отрезка длиной 1 покрыта не более чем двумя отрезками Ik, т. е. сумма длин этих отрезков не превосходит 2.
25.46. Будем последовательно выбрасывать отрезки, покрытые одним или несколькими оставшимися отрезками, до тех пор, пока это возможно. Направим ось координат по данному отрезку и обозначим координаты концов оставшихся отрезков через ak и bk (ak і ak 2. Возможны два случая. 1. bk 1 Ј bk 2, тогда отрезок с номером k 1 покрыт отрезками с номерами k и k 2. Получено противоречие.
bk 1 і bk 2, тогда отрезок с номером k 2 покрыт отрезком с номером k 1. Получено противоречие.
Остается заметить, что сумма длин либо четных, либо нечетных отрезков не меньше 0,5.
25.47. Пусть AB. наибольшая сторона пятиугольника. Рассмотрим полосу, заданную перпендикулярами к стороне AB, проведенными через A и B. Так как углы EAB и ABC тупые, точки E и C лежат вне этой полосы. Поэтому точка D лежит внутри полосы, так как иначе длина одного из отрезков ED и DC была бы больше длины отрезка AB. Обозначим проекцию точки D на отрезок AB через D1 (рис. 25.32). Тогда круги с диаметрами AD и BD полностью покрывают четырехугольники AEDD1 и BCDD1.
25.48. а) Рассмотрим наибольший квадрат K покрытия и выбросим все квадраты, пересекающиеся с ним. Они лежат внутри квадрата, сторона которого в 3 раза больше стороны K, поэтому площадь, занимаемая ими, не больше 81, где s. площадь K. Квадрат K относим к выбранным и в дальнейшем его уже не рассматриваем. Для остальных квадратов проделываем то же самое до тех пор, пока все квадраты будут либо выбраны, либо выброшены. Если сумма площадей выбранных квадратов равна S, то общая площадь выброшенных квадратов не превосходит 8S. Поэтому 1 Ј S 8S, т. е. S і 1/9.
б) Выберем круг наибольшего радиуса, раздуем его в три раза и выбросим все круги, целиком лежащие в этом раздутии. Оставшиеся круги не пересекаются с первым. Для них проделаем то же самое и т. д. Раздутия всех выбранных кругов содержат все данные круги, а площадь раздутия в 9 раз больше площади исходного круга, поэтому 9S і 1, где S. общая площадь всех выбранных кругов. Следовательно, S і 1/9.